روش های طیفی برای توابع متعامد گویا

مطالعات مربوط به چندجمله ای های متعامد از اواخر قرن نوزدهم میلادی آغاز گردید. توابع متعامد گویا‏، اولین بار در اواخر دهه‎1960‎ ‎ توسط ریاضیدان ارمنی‏، دیرباشیان ‎ltrfootnote{‎dj‎rbashian‎‎}‎ ‎به کار برده شد. مقالات وی به زبان روسی انتشار یافت و پس از مدتی به انگلیسی ترجمه شد و در اختیار علاقه مندان قرار گرفت‎‎‎‎.‎‎ ‎یک مطالعه سیستماتیک از توابع متعامد گویا که به چندجمله ای های سگو‎ltrfootnote{‎szego‎‎‎}‎‎ ‎ شباهت داشت‏، توسط هندریکسن‏ ‎ltrfootnote{‎hendriksen‎‎‎‎}‎‎ ‎، نیاستادا‏ ‎ltrfootnote{‎njastad‎‎‎‎}‎‎ ‎، گونزالز- ورا ‎ltrfootnote{‎gonzalez-vera‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎}‎‎ ‎ و بولثیل‎‎ ‎ltrfootnote{‎bultheel‎‎‎‎}‎‎ ‎ در گزارششان در مه 1990 آغاز شد.‎‎ ‎موضوعاتی مانند قضیه فاوارد ‎ltrfootnote{‎favard theorem‎‎‎‎}‎‎ ‎ و مسئله گشتاور و مسئله درون یابی نوانلینا-پیک ‎ltrfootnote{‎‎nevanlinna-pick interpolation problem‎‎‎}‎‎ ‎ و مسائل مجانبی از نتایج این تحقیقات به شمار می آیند. افراد زیادی در دهه های اخیر بر روی این موضوع کار کرده اند‎.‎‎ ‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎‎ ‎ که از مهم ترین آن ها می توان به پان‏ ‎ltrfootnote{‎k.pan‎‎‎}‎‎ ‎، ایکسین لی ‎ltrfootnote{‎xin li‎‎‎}‎‎ ‎ و ژوریس ون دیون ‎ltrfootnote{‎joris van deun‎‎‎}‎‎ ‎ اشاره کرد. همان گونه که چند جمله ای های متعامد به ابزاری ضروری در تحلیل مسائل اساسی در ریاضیات و مهندسی تبدیل شده اند‎‎‏، اخیراً توابع متعامد گویا نیز برای حل برخی مسائل در مهندسی الکترونیک‏، مهم تلقی می شوند. مطالعه توابع متعامد گویا در مقایسه با چندجمله ای های متعامد بسیار جوان است. ‎‎این پایان نامه‏، برای اولین بار در کشور‏، به مطالعه و بررسی روش های طیفی توابع متعامد گویا پرداخته و علاوه بر تعاریف کلی برای روشن شدن موضوع‏، یک روش طیفی برای توابع متعامد گویا روی دایره ی واحد را ارائه می دهد.‎‎ ‎این پایان نامه مشتمل بر چهار فصل است. در فصل اول به معرفی تعاریف و پیش نیازهای لازم برای فصل های بعدی می پردازیم.‎‎ ‎در فصل دوم‏، نخست به معرفی نمادهایی که در ادامه ی این پایان نامه به کار برده خواهند شد‏، پرداخته و در ادامه توابع متعامد گویا را روی دایره ی واحد تعریف کرده و به تعریف عملگر تبدیل موبیوس می پردازیم.‎ در فصل سوم‏، به نمایش ماتریسی عملگرها و رابطه ی بین صفرهای توابع متعامد گویا با مقادیر ویژه ی ماتریس های هسنبرگی می پردازیم.‎‎ ‎در فصل چهارم‏، نخست به معرفی حاصل ضرب های بلاشکه ی فرد و زوج پرداخته و در ادامه به رابطه‎ ی بین صفرهای توابع متعامد گویا با مقادیر ویژه ی ماتریس های پنج قطری می پردازیم.